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福彩群:《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT(第4课时函数奇偶性的应用)

《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT(第4课时函数奇偶性的应用) 详细介绍:

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《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT(第4课时函数奇偶性的应用)

第一部分内容:学习目标

会利用函数的奇偶性求函数的解析式

能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题

... ... ...

函数的基本性质PPT,第二部分内容:讲练互动

利用奇偶性求函数的解析式

若函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x-1,求函数f(x)的解析式.

【解】当x<0时,-x>0,

f(-x)=(-x)2-2(-x)-1=x2+2x-1,

因为函数f(x)是奇函数,

所以f(x)=-f(-x),

所以x<0时,f(x)=-x2-2x+1,

故f(x)=x2-2x-1(x>0),0(x=0),-x2-2x+1(x<0).

1.(变问法)在本例条件下,求f(-3)的值.

解:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-(32-2×3-1)=-2.

2.(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,其他条件不变,求当x<0时,函数f(x)的解析式.

解:当x<0时,-x>0,

f(-x)=(-x)2-2(-x)-1=x2+2x-1,

因为函数f(x)是偶函数,

所以f(x)=f(-x),

所以f(x)=x2+2x-1,

即x<0时,f(x)=x2+2x-1.

规律方法

利用奇偶性求函数解析式的思路

(1)“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间内.

(2)利用已知区间的解析式代入.

(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).  

跟踪训练

1.设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+2x,求函数f(x),g(x)的解析式.

解:因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,

所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),

由f(x)+g(x)=2x+x2.①

用-x代替x得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2,

所以f(x)-g(x)=-2x+x2,②

(①+②)÷2,得f(x)=x2.

(①-②)÷2,得g(x)=2x.

2.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+2x.

(1)求出函数f(x)在R上的解析式;

(2)画出函数f(x)的图象;

(3)根据图象,写出函数f(x)的单调递减区间及值域.

函数的奇偶性与单调性的综合问题

角度一 比较大小问题

设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(  )

A.f(π)>f(-3)>f(-2)

B.f(π)>f(-2)>f(-3)

C.f(π)<f(-3)<f(-2)

D.f(π)<f(-2)<f(-3)

角度二 解不等式

已知定义在(-1,1)上的函数f(x)=xx2+1.

(1)试判断f(x)的奇偶性及在(-1,1)上的单调性;

(2)解不等式f(t-1)+f(2t)<0.

规律方法

奇偶性与单调性综合问题的两种类型

(1)比较大小

①自变量在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大??;

②自变量不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大?。?/p>

(2)解不等式

①利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式;

②根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解.  

... ... ...

函数的基本性质PPT,第三部分内容:达标反馈

1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是(  )

A.y=x3 B.y=|x|+1

C.y=-x2+1  D.y=-2x

解析:选B.对于函数y=|x|+1,

f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),

所以y=|x|+1是偶函数,当x>0时,y=x+1,

所以在(0,+∞)上单调递增;另外函数y=x3不是偶函数;

y=-x2+1在(0,+∞)上单调递减;y=-2x不是偶函数.故选B.

2.如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数,且最小值为3,那么f(x)在区间[-5,-1]上是(  )

A.增函数且最小值为3

B.增函数且最大值为3

C.减函数且最小值为-3

D.减函数且最大值为-3

3.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)x<0的解集为(  )

A.(-1,0)∪(1,+∞)

B.(-∞,-1)∪(0,1)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

D.(-1,0)∪(0,1)

... ... ...

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